Ejercicio resuelto de Energía mecánica orbital (1 de 3)

Solución: La energía mecánica total de un cuerpo en órbita es la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria: \[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_{\text{EEI}} v^2 - G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r} \] Calculamos el radio desde el centro de la Tierra hasta la EEI: \[ r = R_T + h = 6{,}37 \cdot 10^6 + 2{,}80 \cdot 10^5 = 6{,}65 \cdot 10^6 \, \text{m} \] Velocidad orbital a esa altitud: \[ v_{\text{EEI}} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{ \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24}}{6{,}65 \cdot 10^6} } = 7{,}74 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \] Energía cinética: \[ E_c = \frac{1}{2} M_{\text{EEI}} v^2 = \frac{1}{2} \cdot 430 \cdot 10^3 \cdot (7{,}74 \cdot 10^3)^2 = 1{,}29 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Energía potencial: \[ E_p = -G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r} = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24} \cdot 430 \cdot 10^3}{6{,}65 \cdot 10^6} = -2{,}57 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Energía mecánica total: \[ E_m = E_c + E_p = 1{,}29 \cdot 10^{13} - 2{,}57 \cdot 10^{13} = -1{,}29 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] \( \textbf{Justificación del signo:} \) La energía mecánica es negativa porque la EEI está ligada gravitacionalmente a la Tierra. Para que pudiera escapar de la órbita terrestre, su energía mecánica debería ser igual o mayor que cero.

Solución: Si despreciamos el efecto de la atmósfera, se conserva la energía mecánica total durante la caída. Sabemos que: \[ E_m = E_c + E_p \] En la superficie terrestre, la energía potencial es: \[ E_p = -G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{R_T} = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24} \cdot 430 \cdot 10^3}{6{,}37 \cdot 10^6} = -2{,}69 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Como la energía mecánica total se conserva: \[ E_c = E_m - E_p = -1{,}29 \cdot 10^{13} - (-2{,}69 \cdot 10^{13}) = 1{,}40 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Finalmente, la velocidad con la que impacta contra el océano se calcula a partir de la energía cinética: \[ v = \sqrt{ \frac{2 E_c}{M_{\text{EEI}}} } = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1{,}40 \cdot 10^{13}}{430 \cdot 10^3} } = 8{,}80 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \]