Ejercicio - Energía mecánica orbital

Ejercicio de Campo gravitatorio

\( \textbf{Ejercicio.} \quad \text{Energía mecánica y energía de impacto de la EEI} \) Durante el final de su vida útil, la Estación Espacial Internacional (EEI) realizará una reentrada controlada que reducirá progresivamente su altitud orbital hasta situarse a \( 280 \, \text{km} \) sobre la superficie de la Tierra. Posteriormente, caerá y terminará impactando en el océano Pacífico. \( \textbf{Datos:} \) \[ m = 430 \cdot 10^3 \, \text{kg} \quad M_T = 5{,}98 \cdot 10^{24} \, \text{kg} \quad R_T = 6{,}37 \cdot 10^6 \, \text{m} \] \[ h = 280 \cdot 10^3 \, \text{m} \quad G = 6{,}67 \cdot 10^{-11} \, \text{N·m}^2/\text{kg}^2 \] Supón que los efectos de la atmósfera terrestre pueden despreciarse en la caída libre final.

a) Calcula la energía mecánica de la EEI cuando se encuentra en órbita circular a 280 km de altitud sobre la superficie terrestre. Justifica el signo del resultado.

b) Suponiendo que la EEI cae desde esa altura hasta el nivel del mar sin pérdida de energía por rozamiento atmosférico, calcula la energía cinética con la que impactará contra la superficie del océano.

Solución de los Apartados

a) Calcula la energía mecánica de la EEI cuando se encuentra en órbita circular a 280 km de altitud sobre la superficie terrestre. Justifica el signo del resultado.

Solución: La energía mecánica total de un cuerpo en órbita es la suma de la energía cinética y de la energía potencial gravitatoria: \[ E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2} M_{\text{EEI}} v^2 - G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r} \] Calculamos el radio desde el centro de la Tierra hasta la EEI: \[ r = R_T + h = 6{,}37 \cdot 10^6 + 2{,}80 \cdot 10^5 = 6{,}65 \cdot 10^6 \, \text{m} \] Velocidad orbital a esa altitud: \[ v_{\text{EEI}} = \sqrt{\frac{G M_T}{r}} = \sqrt{ \frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24}}{6{,}65 \cdot 10^6} } = 7{,}74 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \] Energía cinética: \[ E_c = \frac{1}{2} M_{\text{EEI}} v^2 = \frac{1}{2} \cdot 430 \cdot 10^3 \cdot (7{,}74 \cdot 10^3)^2 = 1{,}29 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Energía potencial: \[ E_p = -G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{r} = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24} \cdot 430 \cdot 10^3}{6{,}65 \cdot 10^6} = -2{,}57 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Energía mecánica total: \[ E_m = E_c + E_p = 1{,}29 \cdot 10^{13} - 2{,}57 \cdot 10^{13} = -1{,}29 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] \( \textbf{Justificación del signo:} \) La energía mecánica es negativa porque la EEI está ligada gravitacionalmente a la Tierra. Para que pudiera escapar de la órbita terrestre, su energía mecánica debería ser igual o mayor que cero.

b) Suponiendo que la EEI cae desde esa altura hasta el nivel del mar sin pérdida de energía por rozamiento atmosférico, calcula la energía cinética con la que impactará contra la superficie del océano.

Solución: Si despreciamos el efecto de la atmósfera, se conserva la energía mecánica total durante la caída. Sabemos que: \[ E_m = E_c + E_p \] En la superficie terrestre, la energía potencial es: \[ E_p = -G \frac{M_T M_{\text{EEI}}}{R_T} = -\frac{6{,}67 \cdot 10^{-11} \cdot 5{,}98 \cdot 10^{24} \cdot 430 \cdot 10^3}{6{,}37 \cdot 10^6} = -2{,}69 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Como la energía mecánica total se conserva: \[ E_c = E_m - E_p = -1{,}29 \cdot 10^{13} - (-2{,}69 \cdot 10^{13}) = 1{,}40 \cdot 10^{13} \, \text{J} \] Finalmente, la velocidad con la que impacta contra el océano se calcula a partir de la energía cinética: \[ v = \sqrt{ \frac{2 E_c}{M_{\text{EEI}}} } = \sqrt{ \frac{2 \cdot 1{,}40 \cdot 10^{13}}{430 \cdot 10^3} } = 8{,}80 \cdot 10^3 \, \text{m/s} \]