Ejercicio resuelto de Efecto fotoeléctrico (1 de 2)

Solución: La longitud de onda umbral \( \lambda_0 = 650 \cdot 10^{-9} \, \text{m} \) es la más alta para la cual se produce efecto fotoeléctrico. Corresponde a una frecuencia: \[ f_0 = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{650 \cdot 10^{-9}} = 4{,}62 \cdot 10^{14} \, \text{Hz} \] El trabajo de extracción del metal es la energía mínima para liberar un electrón: \[ hf = E_c + W_0 \quad \text{y para } E_c = 0 \Rightarrow W_0 = h f_0 \] Sustituimos: \[ W_0 = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 4{,}62 \cdot 10^{14} = 3{,}06 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \] \[ W_0 = \frac{3{,}06 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 1{,}91 \, \text{eV} \] El potencial de frenado es el voltaje necesario para detener los electrones con mayor energía cinética: \[ \Delta U = \frac{E_c}{|e|}, \quad \text{con } E_c = hf - W_0 \] Calculamos primero la frecuencia de la luz de \( 300 \, \text{nm} \): \[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{300 \cdot 10^{-9}} = 1{,}00 \cdot 10^{15} \, \text{Hz} \] Energía cinética de los electrones: \[ E_c = hf - W_0 = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 1{,}00 \cdot 10^{15} - 3{,}06 \cdot 10^{-19} = 3{,}57 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \] Potencial de frenado: \[ \Delta V = \frac{E_c}{|e|} = \frac{3{,}57 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 2{,}23 \, \text{V} \]

Solución: A partir de la ecuación de la energía cinética: \[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 = hf - W_0 \] Sustituyendo la frecuencia en función de la longitud de onda: \[ v = \sqrt{ \frac{2}{m} \left( \frac{hc}{\lambda} - W_0 \right) } \] Sustituimos los valores numéricos: \[ v(\lambda) = \sqrt{ \frac{2}{9{,}11 \cdot 10^{-31}} \left( \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{\lambda} - 3{,}06 \cdot 10^{-19} \right) } \quad \left( \text{m/s} \right) \] Por tanto, la expresión es: \[ v(\lambda) = \sqrt{ \frac{4{,}36 \cdot 10^{-5}}{\lambda} - 6{,}72 \cdot 10^{11} } \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Para una longitud de onda de \( 500 \, \text{nm} \): \[ v(500 \, \text{nm}) = \sqrt{ \frac{4{,}36 \cdot 10^{-5}}{500 \cdot 10^{-9}} - 6{,}72 \cdot 10^{11} } = 4{,}47 \cdot 10^5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Ahora calculamos la longitud de onda de De Broglie: \[ p = mv \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{h}{mv} \] \[ \lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 4{,}47 \cdot 10^5} = 1{,}63 \cdot 10^{-9} \, \text{m} = 1{,}63 \, \text{nm} \]