Ejercicio - Efecto fotoeléctrico

Ejercicio de Relatividad y física cuántica

\( \textbf{Ejercicio.} \quad \text{Efecto fotoeléctrico y longitud de onda de De Broglie} \) Observamos que en una muestra metálica aparece el efecto fotoeléctrico cuando se ilumina con luz monocromática de longitud de onda menor o igual a \( 650 \, \text{nm} \). \( \textbf{Datos:} \quad c = 3{,}00 \cdot 10^8 \, \text{m/s} \quad |e| = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \quad m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \quad h = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \, \text{J·s} \)

a) Calcula el trabajo de extracción del metal. Calcula el potencial de frenado si se ilumina el metal con luz de \( 300 \, \text{nm} \).

b) Deduce la expresión de la velocidad de los electrones en función de la longitud de onda incidente para este metal. Calcula la velocidad de los electrones para una longitud de onda de \( 500 \, \text{nm} \) y la longitud de onda de De Broglie asociada a estos electrones.

Solución de los Apartados

a) Calcula el trabajo de extracción del metal. Calcula el potencial de frenado si se ilumina el metal con luz de \( 300 \, \text{nm} \).

Solución: La longitud de onda umbral \( \lambda_0 = 650 \cdot 10^{-9} \, \text{m} \) es la más alta para la cual se produce efecto fotoeléctrico. Corresponde a una frecuencia: \[ f_0 = \frac{c}{\lambda_0} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{650 \cdot 10^{-9}} = 4{,}62 \cdot 10^{14} \, \text{Hz} \] El trabajo de extracción del metal es la energía mínima para liberar un electrón: \[ hf = E_c + W_0 \quad \text{y para } E_c = 0 \Rightarrow W_0 = h f_0 \] Sustituimos: \[ W_0 = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 4{,}62 \cdot 10^{14} = 3{,}06 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \] \[ W_0 = \frac{3{,}06 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 1{,}91 \, \text{eV} \] El potencial de frenado es el voltaje necesario para detener los electrones con mayor energía cinética: \[ \Delta U = \frac{E_c}{|e|}, \quad \text{con } E_c = hf - W_0 \] Calculamos primero la frecuencia de la luz de \( 300 \, \text{nm} \): \[ f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3{,}00 \cdot 10^8}{300 \cdot 10^{-9}} = 1{,}00 \cdot 10^{15} \, \text{Hz} \] Energía cinética de los electrones: \[ E_c = hf - W_0 = 6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 1{,}00 \cdot 10^{15} - 3{,}06 \cdot 10^{-19} = 3{,}57 \cdot 10^{-19} \, \text{J} \] Potencial de frenado: \[ \Delta V = \frac{E_c}{|e|} = \frac{3{,}57 \cdot 10^{-19}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} = 2{,}23 \, \text{V} \]

b) Deduce la expresión de la velocidad de los electrones en función de la longitud de onda incidente para este metal. Calcula la velocidad de los electrones para una longitud de onda de \( 500 \, \text{nm} \) y la longitud de onda de De Broglie asociada a estos electrones.

Solución: A partir de la ecuación de la energía cinética: \[ E_c = \frac{1}{2} m v^2 = hf - W_0 \] Sustituyendo la frecuencia en función de la longitud de onda: \[ v = \sqrt{ \frac{2}{m} \left( \frac{hc}{\lambda} - W_0 \right) } \] Sustituimos los valores numéricos: \[ v(\lambda) = \sqrt{ \frac{2}{9{,}11 \cdot 10^{-31}} \left( \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^8}{\lambda} - 3{,}06 \cdot 10^{-19} \right) } \quad \left( \text{m/s} \right) \] Por tanto, la expresión es: \[ v(\lambda) = \sqrt{ \frac{4{,}36 \cdot 10^{-5}}{\lambda} - 6{,}72 \cdot 10^{11} } \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Para una longitud de onda de \( 500 \, \text{nm} \): \[ v(500 \, \text{nm}) = \sqrt{ \frac{4{,}36 \cdot 10^{-5}}{500 \cdot 10^{-9}} - 6{,}72 \cdot 10^{11} } = 4{,}47 \cdot 10^5 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \] Ahora calculamos la longitud de onda de De Broglie: \[ p = mv \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{h}{mv} \] \[ \lambda = \frac{6{,}626 \cdot 10^{-34}}{9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 4{,}47 \cdot 10^5} = 1{,}63 \cdot 10^{-9} \, \text{m} = 1{,}63 \, \text{nm} \]