Ejercicio resuelto de Ecuaciones de la recta (1 de 2)

Solución: La curva está definida por: \[ f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 \] Buscamos los puntos de la curva que tienen ordenada \( y = 5 \), es decir, resolvemos: \[ f(x) = 5 \Rightarrow -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 = 5 \] \[ -x^3 + 7x^2 - 6x = 0 \] Sacamos factor común: \[ x(-x^2 + 7x - 6) = 0 \] Resolvemos: \[ x = 0, \quad -x^2 + 7x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0 \] \[ x = 1, \quad x = 6 \] Evaluamos la función en esos puntos: \[ f(1) = -(1)^3 + 7(1)^2 - 6(1) + 5 = -1 + 7 - 6 + 5 = 5 \] \[ f(6) = -(6)^3 + 7(6)^2 - 6(6) + 5 = -216 + 252 - 36 + 5 = 5 \] Por tanto: \[ P = (1, 5), \quad Q = (6, 5) \] El punto \( R \) tiene la misma abscisa que \( Q \), pero se encuentra en el eje \( x \): \[ R = (6, 0) \] Calculamos la ecuación de la recta \( PR \), que pasa por \( P = (1, 5) \) y \( R = (6, 0) \). \( \textbf{Pendiente:} \) \[ m = \frac{0 - 5}{6 - 1} = -1 \] \( \textbf{Ecuación de la recta:} \) \[ y - 0 = -1(x - 6) \Rightarrow y = -x + 6 \] \( \textbf{Resultados finales:} \) \[ P = (1, 5), \quad Q = (6, 5), \quad R = (6, 0) \] \[ \text{Ecuación de la recta } PR: \quad y = -x + 6 \]