Ejercicio - Teorema Fundamental del Cálculo y Regla de Barrow

Ejercicio de Integrales

\( \textbf{Ejercicio.} \quad \text{Superficie de un terreno limitado por una curva y una recta} \) Un terreno está delimitado en su parte superior por la curva \[ f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 \] y en su parte inferior por el segmento de recta \[ r(x) = -x + 6 \] El área útil del terreno corresponde a la región comprendida entre ambas curvas en el intervalo \( x \in [1,6] \).

Calcula el área exacta de dicho terreno y exprésala en unidades cuadradas.

Solución de los Apartados

Calcula el área exacta de dicho terreno y exprésala en unidades cuadradas.

Solución: Queremos calcular el área comprendida entre las curvas \( f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5 \) (superior) y \( r(x) = -x + 6 \) (inferior) en el intervalo \( [1, 6] \). La expresión para el área entre dos funciones es: \[ A = \int_1^6 \left( f(x) - r(x) \right) dx \] Sustituimos las funciones: \[ A = \int_1^6 \left[ (-x^3 + 7x^2 - 6x + 5) - (-x + 6) \right] dx \] \[ A = \int_1^6 \left( -x^3 + 7x^2 - 5x - 1 \right) dx \] Calculamos la primitiva: \[ \int \left( -x^3 + 7x^2 - 5x - 1 \right) dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{7x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - x \] Evaluamos entre 1 y 6: \[ A = \left[ -\frac{6^4}{4} + \frac{7 \cdot 6^3}{3} - \frac{5 \cdot 6^2}{2} - 6 \right] - \left[ -\frac{1^4}{4} + \frac{7 \cdot 1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 1 \right] \] \[ = \left[ -324 + 504 - 90 - 6 \right] - \left[ -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} - \frac{5}{2} - 1 \right] \] \[ = 84 - \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} - \frac{5}{2} - 1 \right) \] Llevamos todos los términos a común denominador: \[ = 84 - \left( \frac{-3 + 28 - 30 - 12}{12} \right) = 84 - \left( \frac{-17}{12} \right) \] \[ A = 84 + \frac{17}{12} = \frac{1008 + 17}{12} = \frac{1025}{12} \] \[ \boxed{A = \frac{1025}{12} \approx 85{,}42 \, \text{u}^2} \]