Ejercicio - Sistemas homogéneos y discusión de sistemas

Solución: La matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema son: \[ M = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad \bar{M} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 & 4 \\ 1 & -1 & k & 3 \\ 3 & 3 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: \[ \left| \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \\ 3 & 3 & 0 \\ \end{array} \right| = -3 + 6k - 3 - 12k = -6k - 6 \] Igualamos a cero para discutir: \[ -6k - 6 = 0 \Rightarrow k = -1 \] Si \( k \neq -1 \), entonces el determinante es distinto de cero: \[ \text{rg}(M) = \text{rg}(\bar{M}) = 3 \] Como coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si \( k = -1 \), el sistema queda: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x + 2y - z &=& 4 \\ x - y - z &=& 3 \\ 3x + 3y &=& 1 \\ \end{array} \right. \] La tercera ecuación es la suma de la primera menos la segunda: \[ (4x + 2y - z) - (x - y - z) = 3x + 3y \Rightarrow 4x + 2y - z - x + y + z = 3x + 3y \Rightarrow 3x + 3y \] Por tanto, la tercera ecuación es combinación lineal de las otras dos: \[ \text{rg}(M) = \text{rg}(\bar{M}) = 2 < 3 \] El sistema es compatible indeterminado. \(\textbf{Resolución para } k = 0\) El sistema queda: \[ \left\{ \begin{array}{rcl} 4x + 2y - z &=& 4 \\ x - y &=& 3 \\ 3x + 3y &=& 1 \\ \end{array} \right. \] Determinante principal: \[ \Delta = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \\ \end{vmatrix} = -6 \] Determinante para \( x \): \[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ \end{vmatrix} = -10 \Rightarrow x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-10}{-6} = \frac{5}{3} \] Determinante para \( y \): \[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 4 & -1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ \end{vmatrix} = -8 \Rightarrow y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-8}{-6} = \frac{4}{3} \] Determinante para \( z \): \[ \Delta_z = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 3 \\ 3 & 3 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow z = \frac{\Delta_z}{\Delta} = 0 \] \(\textbf{Solución final:}\) \[ x = \frac{5}{3}, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = 0 \]

Solución: Para el caso \( k = -1 \), eliminamos la tercera ecuación porque es redundante. El sistema queda: \[ \left\{ \begin{array}{l} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y - z = 3 \end{array} \right. \] Restamos ambas ecuaciones: \[ (4x + 2y - z) - (x - y - z) = 3x + 3y = 1 \] Obtenemos la ecuación: \[ 3x + 3y = 1 \Rightarrow x + y = \frac{1}{3} \] Tomamos \( x = \lambda \). Entonces: \[ y = \frac{1}{3} - \lambda \] Y sustituimos en la segunda ecuación para hallar \( z \): \[ x - y - z = 3 \Rightarrow \lambda - \left( \frac{1}{3} - \lambda \right) - z = 3 \Rightarrow 2\lambda - \frac{1}{3} - z = 3 \Rightarrow z = 2\lambda - \frac{10}{3} \] Por tanto, todas las soluciones del sistema son: \[ (x, y, z) = \left( \lambda, \, \frac{1}{3} - \lambda, \, 2\lambda - \frac{10}{3} \right), \quad \lambda \in \mathbb{R} \]

Solución: Como se ha señalado, en el caso \( k = -1 \), la tercera ecuación es redundante, ya que es la suma de la primera menos la segunda. Para que el sistema sea incompatible, es necesario modificar el término independiente de la tercera ecuación para que deje de ser combinación lineal de las anteriores. Por ejemplo, si sustituimos la tercera ecuación por: \[ 3x + 3y = 2 \] entonces tendríamos la contradicción: \[ 3x + 3y = 1 \quad \text{(obtenida restando las dos primeras)} \quad \text{vs} \quad 3x + 3y = 2 \Rightarrow 1 = 2 \] Lo cual es una inconsistencia. Por tanto, el sistema es incompatible. Otra manera de justificarlo es con los rangos. La matriz de coeficientes no ha cambiado respecto al apartado anterior, por lo tanto: \[ \text{rg}(M) = 2 \] Pero al modificar el término independiente en la tercera ecuación, la matriz ampliada pasa a tener rango 3, ya que: \[ \begin{vmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & -1 & 3 \\ 3 & 0 & 2 \\ \end{vmatrix} = -4 - 9 + 12 - 2 = -3 \neq 0 \] Como el rango de la matriz de coeficientes es 2 y el de la matriz ampliada es 3: \[ \text{rg}(M) \neq \text{rg}(\bar{M}) \] \(\Rightarrow\) el sistema es incompatible.