Ejercicio - Experimentos compuestos
Ejercicio de Probabilidad
\( \textbf{Ejercicio.} \quad \text{Experimentos compuestos} \) Juan introduce en una bolsa las nueve bolas que se muestran a continuación: \[ \text{B} \quad \text{A} \quad \text{Y} \quad \text{E} \quad \text{S} \quad \text{F} \quad \text{A} \quad \text{N} \quad \text{S} \]
A continuación, extrae de la bolsa dos bolas al azar, una después de la otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve la primera bola a la bolsa antes de sacar la segunda). Calcula la probabilidad de que las dos bolas tengan letras diferentes.
Solución de los Apartados
A continuación, extrae de la bolsa dos bolas al azar, una después de la otra y sin reemplazo (es decir, no devuelve la primera bola a la bolsa antes de sacar la segunda). Calcula la probabilidad de que las dos bolas tengan letras diferentes.
Solución: Queremos calcular la probabilidad de que las dos bolas extraídas tengan letras \( \textbf{diferentes} \). Primero, calculamos la probabilidad de que tengan la \( \textbf{misma} \) letra. Eso solo puede ocurrir si se extraen dos letras \( A \) o dos letras \( S \), ya que son las únicas que están repetidas. \[ P(\text{dos A}) = P(\text{primera A y segunda A}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{36} \] \[ P(\text{dos S}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{36} \] \[ P(\text{iguales}) = P(\text{dos A}) + P(\text{dos S}) = \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18} \] \[ P(\text{diferentes}) = 1 - P(\text{iguales}) = 1 - \frac{1}{18} = \frac{17}{18} \approx 0{,}944 \] También podemos razonar directamente: Si la primera bola no es ni una \( A \) ni una \( S \), entonces es seguro que las letras serán distintas. \[ P(\text{primera no es A ni S}) = \frac{5}{9} \] Si la primera es una \( A \), hay una \( A \) menos en la bolsa, por lo que queda una sola \( A \), y hay \( 8 \) bolas en total. Por tanto: \[ P(\text{primera A y segunda no A}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} \] Análogamente, para la letra \( S \): \[ P(\text{primera S y segunda no S}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} \] Sumamos todas estas probabilidades: \[ P(\text{diferentes}) = \frac{5}{9} + \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} + \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{8} = \frac{5}{9} + \frac{14}{72} + \frac{14}{72} \] \[ P(\text{diferentes}) = \frac{5}{9} + \frac{28}{72} = \frac{40}{72} + \frac{28}{72} = \frac{68}{72} = \frac{17}{18} \]