Ejercicio - Posiciones relativas de una recta y un plano

Solución: Queremos hallar la ecuación del plano \( \pi \) perpendicular a la recta \( AB \) y que pasa por el punto medio de \( A = (1,\,2,\,3) \) y \( B = (-3,\,-2,\,3) \). Calculamos el vector director de la recta \( AB \): \[ \vec{AB} = B - A = (-3,\,-2,\,3) - (1,\,2,\,3) = (-4,\,-4,\,0) \] Este será el vector normal del plano, ya que queremos que el plano sea perpendicular a la recta. Por tanto, la ecuación del plano será de la forma: \[ -4(x - x_0) - 4(y - y_0) + 0(z - z_0) = 0 \] Necesitamos un punto por el que pase el plano. Calculamos el punto medio entre \( A \) y \( B \): \[ M = \frac{1}{2}(A + B) = \frac{1}{2}((1,\ 2,\ 3) + (-3,\ -2,\ 3)) = \frac{1}{2}(-2,\ 0,\ 6) = (-1,\ 0,\ 3) \] Sustituyendo este punto en la ecuación del plano: \[ -4(x + 1) - 4(y - 0) = 0 \] \[ -4x - 4 - 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad -4x - 4y = 4 \quad \Rightarrow \quad x + y + 1 = 0 \] Por tanto, la ecuación del plano es: \[ \boxed{x + y + 1 = 0} \] Ahora justificamos que este plano está formado por los puntos equidistantes a \( A \) y \( B \), es decir, que verifican: \[ d(P, A) = d(P, B) \] Para un punto arbitrario \( P = (x, y, z) \), esto implica: \[ \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2} \] Elevamos al cuadrado ambos lados: \[ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = (x + 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 3)^2 \] Desarrollamos ambos lados: \[ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 \] \[ x^2 + 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 + z^2 - 6z + 9 \] Eliminamos los términos comunes \( x^2, y^2, z^2, -6z, +9 \): \[ -2x - 4y + 5 = 6x + 4y + 13 \] \[ -2x - 4y + 1 = 6x + 4y + 9 \] Pasamos todos los términos a un lado: \[ -2x - 4y + 1 - 6x - 4y - 9 = 0 \] \[ -8x - 8y - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y + 1 = 0 \] Lo que demuestra que los puntos equidistantes de \( A \) y \( B \) están precisamente en el plano \( \pi \). \[ \boxed{x + y + 1 = 0} \]